대수학 (algebra) 은 기본적으로 다항식(polynomial equation)을 연구하는 학문이다. 어떤 기하학적인 대상, 즉 다양체 (Variety or manifold) 가 극소적으로 다항식의 근의 집합으로 주어지면 이를 대수다양체(algebraic variety)라고 한다.
대수의 방법론으로 기하적 대상의 특징을 연구하고 분류하는데 이는 쌍유리 함수(birational morphism)를 바탕으로 한다. 켈러(kaehler)복소다양체는 3가지 타입(general type, Calabi-Yau , Fano)으로 분류되는데 본 연구는 주로 사형공간(projective space)과 가깝고 사형공간과 쌍유리가 될 수있는(rational variety) Fano 다양체가 주요 연구 대상이다. 뿐만 아니라 기하적인 특성을 이용하여 대수적인 명제를 이끌어내는 연구도 진행중이다.
복소기하 또는 대수기하의 최근 가장 핵심문제중의 하나는 처떤 Fano다양체가 켈러-아인슈타인 계량(kaehler-Einstein metric)을 가지는가 이다. 이 문제는 본래 복소기하나 미분기하에서의 편미분 방정식 monge-ampere equation의 해의 존재성문제에서 기인한다. 하지만 이존재성이 최근 K-안정성(K-stability)라는 완전 대수적 안정성문제와 동치라는 것이 밝혀졌다. 따라서 이 K-안정성을 밝히는 tool인 알파불변량과 델타 불변량(alpha or delta-invariant)라는 대수적 불변량을 측정하여 이를 연구 하고있다. 모든 파노다양체의 켈러-아인슈타인계량의 존재성 분류가 궁극적 목표이다.
유명한 추측중의 하나가 파노다양체의 유리점(rational point)이 잠정적으로 기밀 (potentially dense) 할 것이라는 것이다. potentially dense 라는것은 주어진 대수체(K)에서 정의된 대수다양체의 유리점이 K를 finite extension 하면 기밀한 유리점을 가진다는것으로 본질적으로 정수론의 문제이다. 이 문제를 기하학적 특성을 바탕으로 연구한다.